Simone
高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!
高中数学平面解析几何知识点
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点
平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
平面解析几何基本理论
坐标
在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。
曲线方程
在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所有圆。
距离和角度
在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为
上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为
其中m是线的斜率。
变化
变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。
交集
主题问题编辑解析几何中的重要问题：
向量空间
平面的定义
距离问题
点积求两个向量的角度
外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)
平面解析几何初步综合检测
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直，则a的值是()
A.-1或13 B.1或13
C.-13或-1 D.-13或1
解析：选D.由3a(a-23)+(-1)1=0，得a=-13或a=1.
2.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()
解析：选C.直线l1：ax-y+b=0，斜率为a，在y轴上的截距为b，
设k1=a，m1=b.直线l2：bx-y+a=0，斜率为b，在y轴上的截距为a，
设k2=b，m2=a.
由A知：因为l1∥l2，k1=k20，m10，即a=b0，b0，矛盾.
由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾.
由C知：k10，m20，即a0，可以成立.
由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾.
3.已知点A(-1,1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()
A.62-2 B.8
C.46 D.10
解析：选B.点A关于x轴对称点A(-1，-1)，A与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8.
4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
解析：选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02-1=1，所以两圆内含.
5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()
A.2 B.2-1
C.2-2 D.2+1
解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2，依题意|a+1|22+2322=4，解得a=2-1.
6.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是()
A.3x-2y-6=0
B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0
D.2x+3y+8=0
解析：选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0，
设所求直线方程为2x+3y+c=0，
由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32，
c=8，或c=-6(舍去)，
所求直线方程为2x+3y+8=0.
7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为()
A.y-2=34(1-x)
B.y-2=34(x-1)
C.x=1或y-2=34(1-x)
D.x=1或y-2=34(x-1)
解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.
8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有()
A.0个 B.1个
C.2个 D.随a值变化而变化
解析：选C.直线y=ax+1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部.
9.过P(5,4)作圆C：x2+y2-2x-2y-3=0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()
A.5 B.10
C.15 D.20
解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.
|PC|=5-12+4-12=5，
|PA|=|PB|=52-52=25，
S=122552=10.
10.若直线mx+2ny-4=0(m、nR，nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是()
A.(0,1) B.(0，-1)
C.(-，1) D.(-，-1)
解析：选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9，直线mx+2ny-4=0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m+2n-4=0，即m+n=2，mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11，当m=1时等号成立，此时n=1，与“mn”矛盾，所以mn<1.
11.已知直线l：y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.[1，2) D.(-2，2)
解析：选C. 曲线y=1-x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点.
当直线l过点(-1,0)时，m=1;
当直线l为圆的上切线时，m=2(注：m=-2，直线l为下切线).
12.过点P(-2,4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()
A.4 B.2
C.85 D.125
解析：选A.∵点P在圆上，
切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.
直线l的方程为y-4=43(x+2)，
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行，
直线m的方程为4x-3y=0.
故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13.过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.
解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为-1，从而其垂直平分线为直线y=x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1)，半径r=|OA|=2.
答案：(x-1)2+(y-1)2=4
14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点，则|PA||PB|=________.
解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|=3，由切割线定理，|PA||PB|=|PC|2=3.
答案：3
15.若垂直于直线2x+y=0，且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0，则ac的值为________.
解析：已知直线斜率k1=-2，直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直，(-2)(-a2)=-1，得a=-1.圆心到切线的距离为5，即|c|5=5，c=5，故ac=5.
答案：5
16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是__________.
解析：将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程，
得(x-1)2+(y+2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d=|31+4-2+m|32+42=|m-5|5>1，
m<0或m>10.
答案：(-，0)(10，+)
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0，x+y=0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程.
解：AC边上的高线2x-3y+1=0，
所以kAC=-32.
所以AC的方程为y-2=-32(x-1)，
即3x+2y-7=0，
同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.
下面求直线BC的方程，
由3x+2y-7=0，x+y=0，得顶点C(7，-7)，
由x-y+1=0，2x-3y+1=0，得顶点B(-2，-1).
所以kBC=-23，直线BC：y+1=-23(x+2)，
即2x+3y+7=0.
18.一束光线l自A(-3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程;
(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.
解：圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，-2)，过点A，C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.
(2)A关于x轴的对称点为A(-3，-3)，
设过点A的直线为y+3=k(x+3).
当该直线与圆C相切时，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34，
所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).
令y=0，得x1=-34，x2=1，
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34，1].
19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)此方程表示圆，求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值;
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
解：(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0，可化为
(x-1)2+(y-2)2=5-m，
∵此方程表示圆，
5-m>0，即m<5.
(2)x2+y2-2x-4y+m=0，x+2y-4=0，
消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0，
化简得5y2-16y+m+8=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
y1+y2=165， ①y1y2=m+85. ②
由OMON得y1y2+x1x2=0
即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0，
16-8(y1+y2)+5y1y2=0.
将①②两式代入上式得
16-8165+5m+85=0，
解之得m=85.
(3)由m=85，代入5y2-16y+m+8=0，
化简整理得25y2-80y+48=0，解得y1=125，y2=45.
x1=4-2y1=-45，x2=4-2y2=125.
M-45，125，N125，45，
MN的中点C的坐标为45，85.
又|MN|= 125+452+45-1252=855，
所求圆的半径为455.
所求圆的方程为x-452+y-852=165.
20. 已知圆O：x2+y2=1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|=|PA|成立，如图.
(1)求a、b间关系;
(2)求|PQ|的最小值;
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|=|PA|，
所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2
=1+|PA|2，
所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2，
故2a+b-3=0.
(2)由(1)知，P在直线l：2x+y-3=0上，
所以|PQ|min=|PA|min，为A到直线l的距离，
所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255.
(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8，得|PQ|min=255.)
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r=322+12-1=355-1，
又l：x-2y=0，
联立l：2x+y-3=0得P0(65，35).
所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.
21.有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.
解：法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得
3-a2+6-b2=r2，5-a2+2-b2=r2，b-6a-343=-1，解得a=5，b=92，r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.
法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
32+62+3D+6E+F=0，52+22+5D+2E+F=0，-E2-6-D2-343=-1，解得D=-10，E=-9，F=39.
所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y-6=-34(x-3)，
即3x+4y-33=0.
又因为kAB=6-23-5=-2，
所以kBP=12，所以直线BP的方程为x-2y-1=0.
解方程组3x+4y-33=0，x-2y-1=0，得x=7，y=3.所以P(7,3).
所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|=52.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.
22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.
解：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d=22-32=1.
由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-4|1+k2，
从而k(24k+7)=0，即k=0或k=-724，
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)，k0，则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
|1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k4-a-b|1+1k2，
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|，从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk，即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5，因为k的取值有无穷多个，所以
a+b-2=0，b-a+3=0，或a-b+8=0，a+b-5=0，
解得a=52，b=-12，或a=-32，b=132.
这样点P只可能是点P152，-12或点P2-32，132.
经检验点P1和P2满足题目条件.
