Simone
[分析] 从题设入手,点(an,an＋1)在函数f(x)=x2+2x的图象上可得,an＋1=a+2an,两边同时加1得an＋1+1=(an+1)2,取对数即可解决问题.由第(2)问的形式知可由(1)问继而求出1+an的表达式.则Tn可求.
[解析] (1)由已知an＋1=a+2an,∴an＋1+1=(an+1)2.∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得:
lg(1+an＋1)=2lg(1+an),即=2.
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知lg(1+an)=2n－1·lg(1+a1)
=2n－1
·lg3=lg32n－1
∴1+an=32n－1(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320·321·…·32n－1=31+2+22+…+2n－1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
