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张角定理的推导方法?

张角定理的推导方法?

内容

在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理: 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD,那么B,D,C三点共线。

张角定理

定理的推论:

在定理的条件下,且∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC,则B D C共线的充要条件是:2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

一说本定理是公元184年由中国的张角发现(其实只是网友之恶搞)。

证明

证法1:

设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD

由分角定理,

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。

证法2:

由正弦定理,

AD/sinB=BD/sin∠1, (2.1)

AD/sinC=CD/sin∠2, (2.2)

AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2), (2.3)

AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2); (2.4)

那么由(2.1),(2.2),BD=ADsin∠1/sinB,CD=ADsin∠2/sinC,从而

BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC) (2.5)

由(2.3),(2.4),知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB,sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。

将以上两式相加,并将(2.5)代入即可。

证法3:

由面积和得:

0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

应用

把平面几何和三角函数紧密相连,它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式,并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题,适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识,可以大大简化解题步骤,众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。