Simone
已知f(x)=
,若不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则a的最大值为 ﹣
.
[考点]函数恒成立问题.
[专题]分类讨论;转化思想;转化法;函数的性质及应用.
[分析]根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围,利用参数分离法求出a的范围即可得到结论.
[解答]解:∵不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,
∴若x≤0,则x﹣2≤﹣2.
则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥﹣2x,
即4≥0,此时不等式恒成立,
若0
则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥ax2+x,
即ax2≤4﹣3x,
则a≤
=
﹣
,
设h(x)=
﹣
=4(
﹣
)2﹣9,
∵0
≥
,
则h(x)≥﹣9,∴此时a≤﹣9,
若x>2,则x﹣2>0,
则f(x﹣2)≥f(x)等价为,a(x﹣2)2+(x﹣2)≥ax2+x,
即2a(1﹣x)≥2,
∵x>2,∴﹣x<﹣2,1﹣x<﹣1,
则不等式等价,4a≤
=﹣
即2a≤﹣
则g(x)=﹣
在x>2时,为增函数,
∴g(x)>g(2)=﹣1,
即2a≤﹣1,则a≤﹣
,
故a的最大值为﹣
,
故答案为:﹣
[点评]本题主要考查不等式恒成立问题,利用分类讨论的数学思想,结合参数分离法进行求解即可.
