Simone
同意 @Ender.零钒
目前大学普遍使用的微积分教科书，无论冠名是数学分析、高等数学还是微积分，基本都是从极限和连续开始讲起。这的确体现了数学理论的严格性，但对于初学者实在是不友好。
对于大多数非数学专业的理工科学生，学高数的目的是理解多元函数微积分和解微分方程。但是大部分初学者一进入微积分，直接面对的就是ε-δ语言。因为这种反直觉的证明方法，多少人倒在了新数学的门口，逡巡不敢进。
但是ε-δ语言是现代数学的产物，19世纪中期才逐渐成形的。从牛顿和莱布尼茨发明微积分到19世纪，中间有200多年，大家微积分和微分方程照样用。严格化的证明本来也不是非数学专业人士的任务。所以暂时不理解，就先放下！Shut up and calculate！算就完了！
不是人人都是数学天才，有些道理，不是讲了就能懂的。不懂可以先实践，先会算再慢慢体会，功夫到了自然会懂。无穷小的严格化证明，连牛顿那一代人都没搞懂。我们又何必因为一时没弄懂一花一木，而放弃整个森林。
所以龚昇教授这本《简明微积分》其实特别适合初学者、入门者、自学者。
全书11章，第一章先从微积分基本概念入手，简单介绍极限和连续，之后按照微积分发明的历史演进，从计算面积引入定期分，从求切线和变化率引入导数和微分；第二章开始直接介绍微分和积分的算法；第三章介绍一元微积分的应用；第四章介绍常微分方程的解法。前四章学完了，就算小成了。第五章到第八章介绍多元函数微积分，从空间解析几何到物理应用应有尽有，中间四章学完了，就算中成了。第九章才开始介绍ε-δ语言，用书中的原话是，“进一步用精确化的语言，将前面学过的内容再重新叙述一遍”。第十章和第十一章，分别介绍级数和傅里叶变换，全都学完了，就算大成了。
算就完了！！
前几天发布了一个版本，但由于对于芝士回答操作不是很熟悉，很多公式和图片出现了丢失现象，现在这个版本基本改正了上一版本的错误，另外在内容上也有少许改进！
如果你具有高中函数的基础（到高一下学期三角函数就可以了），如果你想对函数特性想更进一步的了解，你可以学微积分。高中有涉及极限和导数部分的知识，但这仅仅是微积分的入门部分，并不是全貌。本文则主要以尽量简单易懂的目的讲解微积分，不是追求严谨为目的，希望能给正有此求知欲的高中生给予帮助。
微积分初步
问题的提出：
古希腊的阿基米德就用这个思路，求出了抛物线和直线围成的面积（穷竭法），但是计算非常复杂，技巧性很高，而且不同的形状解题技巧性不一样。能否有一种方法就像小学的加减乘除那么简单就能求出不规则形状的面积呢？这个还真有，听到这个结论你是否即兴奋又觉得不可思议呢？但是无数数学家顺着阿基米德的思路，去找这种通用的简单方法，这一找就是两千年，但还是没找到。直到牛顿发现了另外一个方法。求不规则形状面积问题属于积分问题。那牛顿到底发现了什么秘密呢？为什么微分与积分合起来叫微积分呢？微分与积分又有什么关系呢？
附阿基米德求抛物线和直线围城的面积计算方法：
S=△ABC+（1/4）△ABC+（1/4）²△ABC+（1/4）³△ABC……阿基米德计算了几项，直觉告诉他这个结果在不断地逼近（4/3）△ABC，也就是说你用的三角形越多，面积S就越接近（4/3）△ABC。于是阿基米德就猜测：如果我把无穷多个三角形的面积都加起来，这个结果应该刚好等于（4/3）△ABC。当然，光猜测是不行的，数学需要的是严格的证明，然后阿基米德就给出了证明。 他证明如果面积S大于（4/3）△ABC会出现矛盾，再证明如果它小于（4/3）△ABC也会出现矛盾， 所以这个面积S就只能等于（4/3）△ABC，证毕。穷竭法可以精确地算出一些曲线围成的面积，但是它有个问题：穷竭法对于不同曲线围成的面积使用不同的图形去逼近。比如上面使用的是三角形，在其它地方就可能使用其它图形，不同图形证明技巧就会不一样，这样就比较麻烦。
学习目的： 掌握微积分基本思想，利用微积分处理变化的数学计算,进一步加强对物理运动的理解
微积分学习的步骤：
微积分并不是什么高大上的知识，更不是高智商的专利，站在大学理工科的角度，这是非常基础的知识，就像你现在站在高中的角度去看小学的加减乘除一样是那么得基础，而且微积分的思想其实也非常简单：把一个不规则的物体用微分的方法分成无数个规则的物体（如长方形），然后用积分的方法求和。即：
。现在看不懂没关系，按照下面的步骤学习就能轻松学会：
极限—>导数不定积分定积分—>常微分方程
提醒：为了使各个知识点的连贯性更紧密些，也同时为了在理解上更加容易些，导数这块做了大量的简化。等整个知识大的框架理解后，我们再强化导数这节的内容，否则导数会学很长时间，而且会迷茫在导数里，不知道学导数的目的是什么。
极限
极限是导数的基础和前提。在讲极限之前，先看两个直观的例子，让我们在直觉上感受极限这个概念。
上图是反比例函数，当x越来越大时，y越来越小。当x趋向于+∞时，y趋向于0，但永远不可能为0，即0就是当x趋向于+∞的极限值。再看看以下数据的规律：1, 1/2, 1/4, 1/16, 1/256……一直下去，后面的数据就越来越接近0，但永远到不了0，我们说这个数列极限就是0，或者说收敛于0
有了这个极限的直觉后，我们先放一边，我们再理解下面的概念。
平均变化率：
我们先看S-t图， 表示的是什么？表示从t1到t2这段时间内单位时间的位移变化值，也就是从t1到t2时间内位移变化的快慢或者位移平均变化率，在物理上我们用平均速度来表示；我们把它拓展到一般的y=f(x)的函数图， 表示的是从x1到x2范围内，y值的变化快慢，也就是y值的平均变化率；而从几何的角度，表示的是割线PQ直线斜率。
从平均变化率过度到瞬时变化率：
从物理的角度来讲，如果是S-t图，平均变化率就是平均速度。但如果我们求P点的瞬时速度呢？毕竟P点的瞬时速度是客观存在的，而且是确定的。假设是V。目前PQ的平均速度和V是误差比较大的。那如何减少这个误差呢？我们发现Q逐渐向P靠近，也就是h减少，平均速度与V误差就减少了。h越小，误差就越小。当h小到一定的程度的时候，PQ 的平均速度就非常接近这个V 了。在物理误差允许内，我们就把PQ的平均速度代替P的瞬时速度了，这样在物理上就从平均速度过度到瞬时速度了。（高一上DIS实验测量物体的瞬间速度就是这个方法，就是类似后面的微分法）
另外从几何的角度来讲，当Q点在逐渐靠近P点时，PQ割线与p点切线的夹角在逐渐缩小，当Q点无限靠近P点时，我们发现PQ无限与切线重合，Q点在逐渐靠近P点的过程是PQ逐渐从割线过度到切线的过程。也就是P点的切线的斜率就是P点的瞬时速度。
以上物理的问题可以说解决了，但是数学上是不是有问题呢？也就是Q无限接近P点，但PQ毕竟不重合，不重合，这个平均值只是瞬时速度的近似值。这个近似值在物理上可以忽略，但在数学上不能忽略，数学毕竟是门非常严谨的学科。两千年前古希腊人就是依靠这个严密性从几个定义和公设出发，建立了欧几里得几何大厦。我们下面再举一个具体的函数例子更加清晰地阐述这个问题。
我们知道自由落体S-t公式 (取 ) 现在求t=2秒时刻的瞬时速度。我们通过公式Vt=at=20很轻松求出，而且这个20是客观存在的，没有任何逻辑问题的，但是我们用极限的方法求就会发现什么问题：通过无限靠近2秒求2秒附近的平均速度：
当△t无限趋近0时，这个瞬时速度无限趋近于20，但不会等于20。为什么近似值会等于客观值呢？难道△t =0 ? 如果等于0，前一步操作就不能约分，△t不能当分母，更不能出现 0/0 这种无意义的数？问题出在哪里呢？其实当年牛顿和莱布尼茨也含含糊糊，一会儿说无穷小，一会儿说是0。但毕竟这么处理结果是正确的(也可以从另外一个方向趋近于，但结果也是一样的，有点类似于阿基米德的证明)，只是逻辑上不严密？这引发了第二次数学危机，数学家用了一百多年才解决这个问题。数学家怎么解决的呢？这个时候轮到极限登场了。
极限:
以上的问题，其实就是研究一个动点（Q点）逐渐接近一个固定点（P点）函数的变化特性问题。转换成数学问题：对于函数f(x),在x轴上有一个固定点a,当 x非常非常接近a，但不等于a 时，f(x)会是 什么样子 的？这是一个非常奇怪的问题，也许这就是人类自古希腊经历了一千多年才发展成微积分的原因。
为了把问题说清楚，我们弄一个非常奇怪的函数：f(x)=x-1的定义域为除2以外的所有实数的函数。由于f(2)没有定义，所以f(2)=1是错误的。但是当x非常非常接近2时候，我们能找到f(x)的一些值，看看将会发生什么。f(2.01)=1.01 f(1.999)=0.999. 稍作思考，我们会发现，当x非常非常接近2的时候，f(x)会非常非常接近1。而且令x充分地接近2，那么你想多接近1就能多接近于1，却又不是真正地到达1。而且x不能到达2，因为f(2)没有定义。那f(2)没有定义，f(x)的值又随着x不断趋近于2而发生变化，那应该等于多少了。数学家发明了一个新词，等于 极限值 。直接写出 （lim是极限的符号）,意思是当x趋近于2，f(x)的 极限等于 1。注意： 不是f(x)的值等于1 ，是f(x)的极限等于1(当x趋近于2时)，f(x)本身的值只能是趋近于1，但不是等于1。再次说明，这意味着“当x接近于2（无论从左边接近还是右边接近且不等于2）时，f(x)的值都接近1（并保持接近的状态）”。那到底有多接近呢？你想有多接近就有多接近。（ 没有最近，只有更近 ）。
以下有两个注意点：
请问等于1还是等于3呢？虽然有g(2)有定义，但x趋近于2的极限值（为1）与g(2)的值（为3）并不是一个值，也不是一个概念，要注意区分这两个概念
请问等于多少呢？是2,1,-2还是其它呢？
极限的严格定义：
设f(x)在 附近有定义，当x趋向于 时，f（x）趋于极限L,并记为 , 如果，对于任意数є>0,存在相应的数δ>0,使得对所有满足0
