Simone
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是 1 .
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是 1 .
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是 1 .
[考点]直线与抛物线的位置关系.
[分析]设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣3ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.
[解答]解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab,
配方得,|AB|2=(a+b)2﹣3ab,
又∵ab≤,
又∵ab≤,
∴(a+b)2
﹣3ab≥(a+b)2
﹣(a+b)2
﹣(a+b)2
=(a+b)2
=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
得到|AB|≥(a+b).
∴≤1,
∴≤1,
即的最大值为1.
即的最大值为1.
故答案为:1.
