如右图,在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点,AC所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是C点坐标是(b,0),由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA).
现将CB平移到起点为原点A,则AD = CB .
而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C ,
根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C),asin(π-C))
即 D点坐标是(-acosC,asinC),
∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB
∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA)
∴ asinC = csinA …………①
-acosC = ccosA-b ……②
由①得 asinA = csinC ,同理可证 asinA = bsinB ,
∴ asinA = bsinB = csinC .
由②得 acosC = b-ccosA ,平方得:
a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ,
即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .
而由①可得 a2sin2C = c2sin2A
∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .
同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ,
c2 = a2 + b2-2abcosC .
到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
参考资料:你可以自己到http://ly10.lyedu.com.cn/keshiwangye/%CA%FD%D1%A7%D0%C2%CD%F8%D2%B3/yjlw/yj1.doc去看