Simone
(1)在△ABC中AB=AC,P是BC边上的中点
所以，△ABC是等腰三角形，AP垂直于BC
所以三角形ABP是直角三角形，BP乘CP=BP² 由勾股定理知，BP²=AB²-AP²
所以，BP*CP=AB²-AP²
(2)成立。
设这时等腰三角形底边BC的中点是D,由（1）知，BD*CD=AB²-AP²，不妨设P在线段CD上，由于等腰三角形对称，在BD上也会成立。下面只讨论P在CD上，设PD=X
则，BP=BD+X,CP=CD-X=BD-X 所以，BP*CP=BD²-X² 在直角三角形ABD和APD中分别用勾股定理，地BD²=AB²-AD² X²=AP²-AD² 两式相减得 BD²-X²=AB²-AP²
所以，BP*CP=AB²-AP²，得证。
(3)线段之间的关系是BP*CP=AP²-AB²
证明原理和（2）类似。
在两个直角三角形ABD和APD中，用勾股定理
BD²=AB²-AD² PD²=AP²-AD² 两式相减 这时要拿后式减前式。PD²-BD²=AP²-AB²。 PD²-BD²=（PD+BD)(PD-BD)=BP(PD-CD)=BP*CP
所以，BP*CP=AP²-AB²
