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在三角形ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则三角形ABC是什么三角形

在三角形ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则三角形ABC是什么三角形

∵acosA+bcosB=ccosC

∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC

∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)

∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)

=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2

=4cosAcosBsin(A+B)

∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0

∴cosA=0或cosB=0

∴A=π/2或B=π/2

∴△ABC是直角三角形

a=2bcosc

根据余弦定理有

a=2b*(a^2+b^2-c^2)/2ab=a^2+b^2-c^2/a

则有a^2=a^2+b^2-c^2

则有b=c

此三角形的形状是等腰三角形

综上所述,三角形是等腰直角三角形

由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

同理可得,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

把它们代入等式,得a(b^2+c^2-a^2)/2bc+b(a^2+c^2-b^2)/2ac=c(a^2+b^2-c^2)/2ab

去分母,就得到a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)

a^2b^2+a^2c^2-a^4+a^2b^2+b^2c^2-b^4=a^2c^2+b^2c^2-c^4

2a^2b^2-a^4-b^4=-c^4,a^4-2a^2b^2+b^4=c^4,(a^2-b^2)^2=(c^2)^2

不妨设a>b,则有a^2-b^2=c^2,a^2=b^2+c^2

∴△ABC是直角三角形