Simone
微分流形
光滑流形（英语：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理学中非常重要。特殊种类的可微流形构成了经典力学、广义相对论和杨-米尔斯理论等物理理论的基础。可以为可微流形开发微积分。可微流形上的微积分研究被称为微分几何。
历史
微分几何（differential geometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：
在一个概念下的事例如果构成n维流形，一个流形的特色可以简单表示其属性，则化简的结果必然是有限个数字，…… -波恩哈德·黎曼的就职演说《论作为几何学基础的假设》
物理学家马克士威（James Clerk Maxwell）和数学家库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）和齐维塔（Tullio Levi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（Hermann Weyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人厘清，使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确，并通过微分几何和李群使微分流形的理论得到进一步的发展。
C -可微流形的定义
设是自然数，-维拓扑空间被称为是-维可微流形，如果，
为豪斯多夫空间
被-维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在中的-维坐标邻域族，使得
满足的任意，其坐标转换

为一个到的映射。
注意：每个座标邻域都是流形中的开集合。
当第三个条件中的座标变换改成是光滑映射（代表可无限次微分）时，满足这三条件的称为光滑流形，写作流形；当座标变换不是可微映射，仅是连续映射时，满足这三条件的称为拓扑流形，写作流形。
图册
拓扑空间X上的图册称为卡（chart）的{(Uα, φα)}的集合，其中Uα是覆盖 X的开放集合，并且对于每个索引α

是Uα在n维真实空间的开放子集上的同胚。图册的转移映射（transitionmap）功能是

以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每个拓扑流形都有一个图册。Ck-atlas是一个图册，其转换图是Ck。拓扑流形具有C0-atlas，并且通常Ck-流形具有Ck-atlas。连续图册（continuous atlas）是C0图册，平滑图册是C∞图册，分析图册（analytic atlas）是Cω图册。
